1 – 31 juillet 2019 » Expansions, algèbres de Lie et invariants

Organisateurs: Anton Alekseev (Genève), Dror Bar-Natan (Toronto), Roland van der Veen (Leiden)

Notre atelier réunira des experts travaillant sur les expansions et d’autres travaillant sur les invariants, dans l’espoir que les deux groupes apprendront l’un de l’autre et s’influenceront mutuellement. Les expansions sont des solutions d’un certain type d’équations compliquées dans des espaces gradués souvent associés aux algèbres de Lie libres.

Comme exemples d’expansions, mentionnons (entre autres) les associateurs de Drinfel’d, les solutions des équations de Kashiwara-Vergne et les solutions de problèmes variés de quantification par déformation. Les invariants qui nous intéressent sont des invariants de divers objets en topologie en basses dimensions, inspirés de l’algèbre quantique. Ces invariants sont souvent associés à des algèbres de Lie semi-simples. Les deux sujets ont émergé en même temps, aux débuts de la théorie des groupes quantiques, mais ils se sont développés séparément (dans une large mesure). Nous pensons qu’il sera très profitable de reprendre leur étude conjointe.

1 – 31 août 2019 » Variétés des carquois et théorie des représentations

Organisateurs: Joel Kamnitzer (Toronto), Hugh Thomas (UQAM)

La théorie des représentations de carquois (et d’algèbres pré-projectives reliées aux carquois) a été étudiée par des chercheurs en algèbre, alors que la géométrie des variétés de carquois a été étudiée par des chercheurs en théorie géométrique des représentations.

La présente activité thématique réunira des membres de ces deux communautés pour qu’ils se fassent part de leurs progrès respectifs et pour stimuler la recherche et la collaboration. Parmi les sujets qui seront abordés, mentionnons la quantification des variétés de carquois, les constructions de branches de Coulomb utilisant les variétés de carquois, la théorie basculante pour les algèbres pré-projectives et la catégorification des algèbres amassées.

5 au 9 août : semaine thématique sur les algèbres amassées et les représentations des carquois, avec un mini-cours par Pierre-Guy Plamondon
12 au 16 août : atelier sur les variétés des carquois et la théorie des représentations
19 au 23 août: semaine thématique sur les variétés des carquois, avec des mini-cours par Michael Finkelberg et Hiraku Nakajima

1 – 8 septembre 2019 » Atelier sur les nouvelles tendances en systèmes différentiels polynomiaux

Organisateurs: Jaume Llibre (Barcelona), Dana Schlomiuk (Montréal)

Les champs de vecteurs polynomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées comme par exemple en dynamique de population, en chimie, circuits électriques, réseaux de neurones, ondes de choc, physique du laser, hydrodynamique, etc. Ils ont aussi une importance théorique.

Trois problèmes sur ces systèmes, énoncés il y a plus de cent ans, sont aujourd’hui encore ouverts. Des développements théoriques dans ce domaine peuvent jeter une lumière sur ces problèmes difficiles et aussi avoir un impact sur des applications. Récemment plusieurs nouveaux résultats significatifs ont été obtenus sur les champs de vecteurs polynomiaux. Le but de cet atelier est de focaliser l’attention sur ces nouveaux développements en les faisant connaître et de permettre aux chercheurs d’avoir des échanges scientifiques afin d’avancer la recherche dans ce domaine.

Quelques points qui seront discutés:

  1. La théorie des invariants algébriques des systèmes différentiels polynomiaux.
  2. Intégrabilité des systèmes différentiels polynomiaux.
  3. Algorithmes pour le calcul effectif des propriétés algébriques et géométriques des champs de vecteurs polynomiaux.
  4. Le 16e problème de Hilbert.
  5. Calcul de solutions particulières dans des familles de champs de vecteurs polynomiaux.
  6. Perturbations singulières dans les systèmes différentiels lents-rapides dans le plan.

1 – 30 septembre 2019 » Topologie en basses dimensions

Organisateurs: Steven Boyer (UQAM), Liam Watson (Sherbrooke)

En septembre 2019 se tiendra au CRM un mois thématique en topologie en basses dimensions, faisant partie du programme du 50e anniversaire du centre. La topologie en basses dimensions est un domaine de recherche incluant (entre autres) la topologie en dimension 3 ou 4, la théorie des nœuds et la théorie géométrique des groupes; elle utilise des techniques de la topologie symplectique et de la théorie de jauge afin de résoudre des problèmes qui sont ouverts depuis longtemps. Beaucoup de nouvelles connexions sont en cours de réalisation et la topologie en basses dimensions se trouve à la croisée des chemins: quelques-uns des problèmes ouverts les plus importants ont été résolus, comme la géométrisation des 3-variétés (due à Perelman) et la preuve de la conjecture virtuelle de Haken (due à Agol et Wise). Ces travaux ont ouvert de nouvelles perspectives à la recherche.

Le CRM est ravi que Ciprian Manolescu, un chercheur éminent, soit en résidence au CRM pendant ce mois thématique. La preuve par Manolescu que la conjecture de triangulation est fausse [Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the triangulation conjecture, Journal of the American Mathematical Society, 2016] a été applaudie et reflète l’activité courante en topologie en basses dimensions. Dans ses travaux, Manolescu a créé des outils de théorie de jauge résolvant des problèmes en basses dimensions reliés à l’existence de triangulations en grandes dimensions. Ces travaux ont suscité un nouvel intérêt pour les méthodes de théorie de jauge en basses dimensions, ainsi qu’en témoigne une série de brillants résultats dus à Manolescu et ses étudiants.

L’objectif de ce mois thématique, qui tournera autour des travaux de Manolescu, sera de faire le point sur les développements récents dans le sujet et de mettre en lumière les nombreuses avenues nouvelles de ce domaine de recherche. Le programme s’efforcera d’accueillir des chercheurs en début de carrière se spécialisant en topologie en basses dimensions et les domaines connexes.

1 –31 octobre 2019 » Programmation non linéaire mixte en nombres entiers : théorie et calcul

Organisateurs: Andrea Lodi (Polytechnique Montréal), Bruce Shepherd (McGill)

La programmation non linéaire en nombres entiers mixte (PNLEM) concerne le calcul de solutions optimales pour des modèles d’optimisation mathématique incluant des éléments discrets ou non linéaires (qu’il s’agisse des variables, des contraintes ou de la fonction-objectif). De tels modèles proviennent d’applications importantes en de nombreux domaines, notamment le génie chimique, l’énergie et les transports. De plus, les méthodes éprouvées qui sont utilisées en optimisation continue ou discrète ne permettent pas de résoudre cette nouvelle famille de problèmes. La complexité mathématique qui leur est sous-jacente n’est pas bien comprise parce que la non-convexité provenant des aspects discrets et celle provenant des aspects non linéaires ont une interaction compliquée. En particulier, la PNLEM présente des défis théoriques, algorithmiques et calculatoires qui devront être surmontés avant que la résolution de ses modèles connaisse le même succès que l’optimisation lisse ou la programmation en nombres entiers. Ces défis seront au cœur des activités du mois thématique du CRM sur la « programmation non linéaire en nombres entiers mixte ».