1 – 30 juin 2019 » Algèbre homologique, analyse microlocale et géométrie symplectique

Organisateurs: Emmanuel Giroux (UMI CNRS-CRM & ENS Lyon), Stéphane Guillermou (Grenoble Alpes)

Le but de ce programme scientifique sera de présenter et discuter les développements récents dans les applications de l’analyse microlocale des faisceaux à la géométrie symplectique. On s’intéressera tout spécialement au travail de Dmitry Tamarkin, le chercheur en résidence pour ce programme, qui donnera des exposés sur sa catégorie microlocale et ses relations avec la catégorie de Fukaya. La première semaine du programme sera consacrée à des exposés introductifs destinés à fournir aux jeunes participants les bases nécessaires. Pendant les deux semaines suivantes, Dmitry Tamarkin présentera son travail dans les séances du matin et le contenu de ses exposés sera rediscuté et approfondi dans les séances de l’après-midi. Pour finir, un petit colloque sera organisé pendant la dernière semaine du programme.

1 – 31 juillet 2019 » Expansions, algèbres de Lie et invariants

Organisateurs: Anton Alekseev (Genève), Dror Bar-Natan (Toronto), Roland van der Veen (Leiden)

Notre atelier réunira des experts travaillant sur les expansions et d’autres travaillant sur les invariants, dans l’espoir que les deux groupes apprendront l’un de l’autre et s’influenceront mutuellement. Les expansions sont des solutions d’un certain type d’équations compliquées dans des espaces gradués souvent associés aux algèbres de Lie libres.

Comme exemples d’expansions, mentionnons (entre autres) les associateurs de Drinfel’d, les solutions des équations de Kashiwara-Vergne et les solutions de problèmes variés de quantification par déformation. Les invariants qui nous intéressent sont des invariants de divers objets en topologie en basses dimensions, inspirés de l’algèbre quantique. Ces invariants sont souvent associés à des algèbres de Lie semi-simples. Les deux sujets ont émergé en même temps, aux débuts de la théorie des groupes quantiques, mais ils se sont développés séparément (dans une large mesure). Nous pensons qu’il sera très profitable de reprendre leur étude conjointe.

1 – 31 août 2019 » Variétés des carquois et théorie des représentations

Organisateurs: Joel Kamnitzer (Toronto), Hugh Thomas (UQAM)

La théorie des représentations de carquois (et d’algèbres pré-projectives reliées aux carquois) a été étudiée par des chercheurs en algèbre, alors que la géométrie des variétés de carquois a été étudiée par des chercheurs en théorie géométrique des représentations.

La présente activité thématique réunira des membres de ces deux communautés pour qu’ils se fassent part de leurs progrès respectifs et pour stimuler la recherche et la collaboration. Parmi les sujets qui seront abordés, mentionnons la quantification des variétés de carquois, les constructions de branches de Coulomb utilisant les variétés de carquois, la théorie basculante pour les algèbres pré-projectives et la catégorification des algèbres amassées.

1 – 8 septembre 2019 » Atelier sur les nouvelles tendances en systèmes différentiels polynomiaux

Organisateurs: Jaume Llibre (Barcelona), Dana Schlomiuk (Montréal)

Les champs de vecteurs polynomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées comme par exemple en dynamique de population, en chimie, circuits électriques, réseaux de neurones, ondes de choc, physique du laser, hydrodynamique, etc. Ils ont aussi une importance théorique.

Trois problèmes sur ces systèmes, énoncés il y a plus de cent ans, sont aujourd’hui encore ouverts. Des développements théoriques dans ce domaine peuvent jeter une lumière sur ces problèmes difficiles et aussi avoir un impact sur des applications. Récemment plusieurs nouveaux résultats significatifs ont été obtenus sur les champs de vecteurs polynomiaux. Le but de cet atelier est de focaliser l’attention sur ces nouveaux développements en les faisant connaître et de permettre aux chercheurs d’avoir des échanges scientifiques afin d’avancer la recherche dans ce domaine.

Quelques points qui seront discutés:

  1. La théorie des invariants algébriques des systèmes différentiels polynomiaux.
  2. Intégrabilité des systèmes différentiels polynomiaux.
  3. Algorithmes pour le calcul effectif des propriétés algébriques et géométriques des champs de vecteurs polynomiaux.
  4. Le 16e problème de Hilbert.
  5. Calcul de solutions particulières dans des familles de champs de vecteurs polynomiaux.
  6. Perturbations singulières dans les systèmes différentiels lents-rapides dans le plan.

1 – 30 septembre 2019 » Topologie en basses dimensions

Organisateurs: Steven Boyer (UQAM), Liam Watson (Sherbrooke)

En septembre 2019 se tiendra au CRM un mois thématique en topologie en basses dimensions, faisant partie du programme du 50e anniversaire du centre. La topologie en basses dimensions est un domaine de recherche incluant (entre autres) la topologie en dimension 3 ou 4, la théorie des nœuds et la théorie géométrique des groupes; elle utilise des techniques de la topologie symplectique et de la théorie de jauge afin de résoudre des problèmes qui sont ouverts depuis longtemps. Beaucoup de nouvelles connexions sont en cours de réalisation et la topologie en basses dimensions se trouve à la croisée des chemins: quelques-uns des problèmes ouverts les plus importants ont été résolus, comme la géométrisation des 3-variétés (due à Perelman) et la preuve de la conjecture virtuelle de Haken (due à Agol et Wise). Ces travaux ont ouvert de nouvelles perspectives à la recherche.

Le CRM est ravi que Ciprian Manolescu, un chercheur éminent, soit en résidence au CRM pendant ce mois thématique. La preuve par Manolescu que la conjecture de triangulation est fausse [Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the triangulation conjecture, Journal of the American Mathematical Society, 2016] a été applaudie et reflète l’activité courante en topologie en basses dimensions. Dans ses travaux, Manolescu a créé des outils de théorie de jauge résolvant des problèmes en basses dimensions reliés à l’existence de triangulations en grandes dimensions. Ces travaux ont suscité un nouvel intérêt pour les méthodes de théorie de jauge en basses dimensions, ainsi qu’en témoigne une série de brillants résultats dus à Manolescu et ses étudiants.

L’objectif de ce mois thématique, qui tournera autour des travaux de Manolescu, sera de faire le point sur les développements récents dans le sujet et de mettre en lumière les nombreuses avenues nouvelles de ce domaine de recherche. Le programme s’efforcera d’accueillir des chercheurs en début de carrière se spécialisant en topologie en basses dimensions et les domaines connexes.